Calcule a integral definida.
integral0^raiz3 / 2 x^3raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral definida:
integral0^raiz32 x^3raiz1 - x^2 , dx
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais envolvendo expressões como raiz1 - x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como simplificar a parte que está sob a raiz quadrada, raiz1 - x^2. Uma boa estratégia aqui é usar a substituição trigonométrica x = sin theta. Essa substituição é útil porque raiz1 - sin^2 theta = cos theta, o que simplifica a expressão.

Passo 3

Com a substituição x = sin theta, precisamos também mudar os limites da integral e encontrar dx em termos de theta.
Quando x = 0:
0 = sin theta implies theta = 0
Quando x = raiz32:
raiz32 = sin theta implies theta = pi3
Agora, derivamos x em relação a theta:
dx = cos theta , dtheta

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original:
integral0^raiz32 x^3raiz1 - x^2 , dx = integral0^pi3 sin^3 thetacos theta cdot cos theta , dtheta
Os cos theta no numerador e denominador se cancelam, simplificando para:
integral0^pi3 sin^3 theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos calcular integral sin^3 theta , dtheta. Para isso, usamos a identidade trigonométrica que separa um fator de sin theta:
sin^3 theta = sin^2 theta cdot sin theta = (1 - cos^2 theta) cdot sin theta
Isso nos ajuda a preparar para uma substituição fácil.

Passo 6

Vamos fazer a substituição u = cos theta. Então:
du = -sin theta , dtheta implies -du = sin theta , dtheta
Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) cdot (-du) = -integral (1 - u^2) , du = integral (u^2 - 1) , du

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral u^2 , du - integral 1 , du = u^33 - u + C
Voltando para theta, já que u = cos theta:
cos^3 theta3 - cos theta + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi3:
[ cos^3 theta3 - cos theta ]0^pi3 = ( cos^3 ( pi3 )3 - cos ( pi3 ) ) - ( cos^3 (0)3 - cos (0) )
Sabemos que cos ( pi3 ) = 12 e cos(0) = 1. Substituindo:
( ( 12 )^33 - 12 ) - ( 1^33 - 1 ) = ( 183 - 12 ) - ( 13 - 1 )
= ( 124 - 1224 ) - ( 13 - 1 ) = ( -1124 ) - ( -23 )
Convertendo -23 para denominador 24:
-1124 + 1624 = 524

Resposta

O valor da integral definida é 524.

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