Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular uma integral definida:
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais envolvendo expressões como
.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como simplificar a parte que está sob a raiz quadrada,
. Uma boa estratégia aqui é usar a substituição trigonométrica
. Essa substituição é útil porque
, o que simplifica a expressão.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos também mudar os limites da integral e encontrar
em termos de
.
Quando
:
Quando
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir tudo na integral original:
Os
no numerador e denominador se cancelam, simplificando para:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Para isso, usamos a identidade trigonométrica que separa um fator de
:
Isso nos ajuda a preparar para uma substituição fácil.
Passo 6
Vamos fazer a substituição
. Então:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Voltando para
, já que
:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Convertendo
para denominador 24:
Resposta
O valor da integral definida é
.