Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente de integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição adequada que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos chamar $ u = \sqrt{9 - x^{2}} $. Assim, precisamos encontrar $ du $ em termos de $ dx $.
Passo 3
Calculando a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Então, podemos isolar $ dx $:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original:
Passo 5
Sabemos que $ u = \sqrt{9 - x^{2}} $, então $ x^{2} = 9 - u^{2} $. Substituindo isso na integral:
Essa integral é uma forma padrão que podemos resolver usando uma fórmula de integração para frações racionais.
Passo 6
A integral de
é:
Nesse caso, $ a = 3 $, então substituindo:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original $ x $. Lembrando que $ u = \sqrt{9 - x^{2}} $, substituímos de volta: