Calcule a integral indefinida.
integral d xx raiz9-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral dxx raiz9 - x^2. Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente de integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos chamar $ u = \sqrt{9 - x^{2}} $. Assim, precisamos encontrar $ du $ em termos de $ dx $.

Passo 3

Calculando a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Então, podemos isolar $ dx $:
x

Passo 4

Agora, vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original:
u

Passo 5

Sabemos que $ u = \sqrt{9 - x^{2}} $, então $ x^{2} = 9 - u^{2} $. Substituindo isso na integral:
u = raiz9 - x^2
Essa integral é uma forma padrão que podemos resolver usando uma fórmula de integração para frações racionais.

Passo 6

A integral de 1a^2 - u^2 é:
integral dua^2 - u^2 = 12a ln | a + ua - u | + C
Nesse caso, $ a = 3 $, então substituindo:
a = 3

Passo 7

Agora, voltamos à variável original $ x $. Lembrando que $ u = \sqrt{9 - x^{2}} $, substituímos de volta:
x

Resposta

integral dxx raiz9 - x^2 = -16 ln | 3 + raiz9 - x^23 - raiz9 - x^2 | + C

Exercícios relacionados