Calcule por integral
I=integral duplaR y d A
onde R é a região limitada pela parábolas x=y^2 e x=8-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = integral duplaR y,dA,
onde R é a região no plano xy limitada pelas parábolas x = y^2 e x = 8 - y^2.
O conteúdo envolvido é integral dupla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar descrever R projetando no eixo y e depois montar a integral iterada.

Passo 2

Para encontrar os limites em y, igualamos as curvas na intersecção:
y^2 = 8 - y^2
2y^2 = 8Longrightarrow y^2 = 4Longrightarrow y = pm 2
Logo a região R corresponde a -2 <= y <= 2.

Passo 3

Para cada y em [-2,2], x varia de x = y^2 (curva mais à esquerda) até x = 8 - y^2 (curva mais à direita). Assim podemos escrever
I = integraly=-2^2 integralx=y^2^,8 - y^2 y,dx,dy

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em x, tratando y como constante:
integralx=y^2^,8 - y^2 y,dx = y;l[(8 - y^2) - y^2r] = y,(8 - 2y^2)

Passo 5

Substituindo no integral em y, obtemos
I = integral-2^2 l(8y - 2y^3r),dy
Note que a função 8y - 2y^3 é ímpar e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero. A integral de uma função ímpar em [-a,a] é zero.

Resposta

0

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