Calcule por integral
onde
é a região limitada pela parábolas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
,
onde é a região no plano
limitada pelas parábolas
e
.
O conteúdo envolvido é integral dupla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar descrever projetando no eixo
e depois montar a integral iterada.
onde
O conteúdo envolvido é integral dupla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar descrever
Passo 2
Para encontrar os limites em
, igualamos as curvas na intersecção:
Logo a região
corresponde a
.
Passo 3
Para cada
em
,
varia de
(curva mais à esquerda) até
(curva mais à direita). Assim podemos escrever
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em
, tratando
como constante:
Passo 5
Substituindo no integral em
, obtemos
Note que a função
é ímpar e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero. A integral de uma função ímpar em
é zero.