Calcule a integral definida
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função vão ser
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Isso é útil quando temos uma integral que é produto de duas funções, como é o caso aqui, onde temos
e
.
Passo 3
Vamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
.
-
Escolha de
: Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada. Aqui, vamos escolher . -
Escolha de
: O que sobra fica como . Então, .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
e
:
- Derivada de
:
- Integral de
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, vamos integrar
:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Como estamos calculando uma integral definida, precisamos avaliar de
a
:
Passo 7
Vamos calcular cada termo:
- Para
:
Então:
- Para
:
Então:
Passo 8
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A integral definida
é igual a
.