Calcule a integral definida integralpi6^5 pi6 x cos (x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função vão ser e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Isso é útil quando temos uma integral que é produto de duas funções, como é o caso aqui, onde temos e .

Passo 3

Vamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será .
  • Escolha de : Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada. Aqui, vamos escolher .
  • Escolha de : O que sobra fica como . Então, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar du = ddx(x) ,dx = 1 ,dx e v = integral cos(x) ,dx = sin(x) :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cos(x) ,dx = x sin(x) - integral sin(x) ,dx
Agora, vamos integrar integral sin(x) ,dx = -cos(x) :
integral x cos(x) ,dx = x sin(x) + cos(x) + C
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Como estamos calculando uma integral definida, precisamos avaliar de [ x sin(x) + cos(x) ]pi6^5pi6 = ( 5pi6 sin(5pi6) + cos(5pi6) ) - ( pi6 sin(pi6) + cos(pi6) ) a :

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
  • Para sin(5pi6) = 12 e cos(5pi6) = -raiz32 :
5pi6 cdot 12 + (-raiz32) = 5pi12 - raiz32
Então:
sin(pi6) = 12 e cos(pi6) = raiz32
  • Para pi6 cdot 12 + raiz32 = pi12 + raiz32 :
Então:

Passo 8

Subtraindo os dois resultados:
( 5pi12 - raiz32 ) - ( pi12 + raiz32 ) = 5pi12 - raiz32 - pi12 - raiz32 = 4pi12 - raiz3 = pi3 - raiz3

Resposta

A integral definida é igual a .

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