Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de 0, além de determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e expansões de funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função . Note que podemos reescrever o logaritmo assim:
Usando a propriedade dos logaritmos, isso fica:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte . Sabemos que a série de potência para é:
Aqui, , então a série fica:
Passo 4
Substituindo essa s��rie de volta na nossa função :
Podemos simplificar a segunda parte:
Passo 5
Então, a representação em série de potências para em torno de 0 é:
Passo 6
Para encontrar o raio de convergência, observamos a condição da série original. A série converge quando:
Portanto, o raio de convergência é 2.
Resposta
A representação em série de potências para em torno de 0 é: