Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para f(x) e determine o raio de convergência.
© f(x) = x ln(4 - x^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de 0, além de determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e expansões de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Note que podemos reescrever o logaritmo assim:
Usando a propriedade dos logaritmos, isso fica:
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte . Sabemos que a série de potência para é:
Aqui, , então a série fica:

Passo 4

Substituindo essa s��rie de volta na nossa função :
Podemos simplificar a segunda parte:

Passo 5

Então, a representação em série de potências para em torno de 0 é:

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência, observamos a condição da série original. A série converge quando:
Portanto, o raio de convergência é 2.

Resposta

A representação em série de potências para em torno de 0 é:
E o raio de convergência dessa série é 2.

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