Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
(Dica: tente usar o resultado do item
do exercício 1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
é convergente ou divergente. A matéria que vamos usar aqui envolve Séries Numéricas e o Teste de Comparação. Além disso, pode ser que a gente precise lembrar de algumas propriedades das funções trigonométricas, especificamente do seno. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função seno para valores pequenos. Sabemos que, quando
é bem pequeno,
pode ser aproximado por
. Formulando isso matematicamente:
No nosso caso, temos
. Quando
fica grande,
fica bem pequeno, então podemos aproximar:
Passo 3
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na nossa série original, temos:
Então, a nossa série se comporta de maneira semelhante à série
.
Passo 5
Sabemos que a série
é convergente se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então a série
é convergente.
Passo 6
Para confirmar que a nossa série original também converge, podemos usar o Teste de Comparação. Já que
para todo
grande o suficiente, e sabemos que
converge, então, por comparação, a nossa série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.