Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty sin ^2(1n)n (Dica: tente usar o resultado do item (f) do exercício 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty sin^2(1n)n é convergente ou divergente. A matéria que vamos usar aqui envolve Séries Numéricas e o Teste de Comparação. Além disso, pode ser que a gente precise lembrar de algumas propriedades das funções trigonométricas, especificamente do seno. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função seno para valores pequenos. Sabemos que, quando x é bem pequeno, sin(x) pode ser aproximado por x. Formulando isso matematicamente:
sin(x) approx x quando x to 0
No nosso caso, temos sin(1n). Quando n fica grande, 1n fica bem pequeno, então podemos aproximar:
sin(1n) approx 1n

Passo 3

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para encontrar sin^2(1n):
sin^2(1n) approx (1n)^2 = 1n^2

Passo 4

Substituindo essa aproximação na nossa série original, temos:
sin^2(1n)n approx 1n^2n = 1n^3
Então, a nossa série se comporta de maneira semelhante à série sumn=1^infty 1n^3.

Passo 5

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^p é convergente se p > 1. No nosso caso, p = 3, que é maior que 1, então a série sumn=1^infty 1n^3 é convergente.

Passo 6

Para confirmar que a nossa série original também converge, podemos usar o Teste de Comparação. Já que sin^2(1n)n <= 1n^3 para todo n grande o suficiente, e sabemos que sum 1n^3 converge, então, por comparação, a nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty sin^2(1n)n é convergente.

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