Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para e determine o raio de convergência.
(h) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de 0, e também determinar o raio de convergência dessa série. Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas que representam funções matemáticas próximas a um ponto específico, neste caso, 0. Para resolver, vamos precisar manipular a função de forma a expressá-la como uma série que a gente conhece, como a série geométrica, por exemplo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função . Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência de :
Agora, para facilitar a expansão, vamos fatorar o 4 dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Passo 3
Agora, vamos utilizar o binômio de Newton para expandir . A série binomial para é dada por:
onde é o coeficiente binomial generalizado, que para fica:
Substituindo :
Passo 4
Agora, multiplicamos essa série por para obter a representação de :
Podemos escrever isso como:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, para determinar o raio de convergência da série, usamos o critério da raiz ou o critério da razão. Vamos aplicar o critério da razão, que nos diz que a série converge se:
Onde . Calculando o limite:
Após simplificações, descobrimos que a série converge para .
Resposta
A representação em série de potências para em torno de 0 é: