Sejam sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn séries de termos positivos.
Prove que se lim n infty anbn=0 e sumn=1^infty bn converge, então sumn=1^infty an converge.

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o que o problema está pedindo. Temos duas séries infinitas, sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn, onde todos os termos são positivos. A gente precisa provar que se o limite lim n infty anbn=0 e a série sumn=1^infty bn converge, então a série sumn=1^infty an também converge. Vamos usar conceitos de séries e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se sum bn converge e os termos são positivos, então a série tem uma soma finita. O fato de lim n infty anbn=0 significa que, para termos grandes, an é muito menor que bn. Ou seja, an está “muito abaixo” de bn.

Passo 3

Como an < bn para n suficientemente grande (porque o limite é zero), podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste diz que se você tem duas séries com termos positivos e uma delas é menor que a outra para todo n grande o suficiente, então se a série maior converge, a menor também converge.

Passo 4

Aplicando o Teste da Comparação aqui: sabemos que sum bn converge e, para n grande, an <= bn. Assim, pela comparação, sum an também converge, já que seus termos são menores ou iguais aos termos de uma série que já sabemos que converge.

Resposta

Portanto, sumn=1^infty an converge.

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