Sejam
e
séries de termos positivos.
Prove que se
e
converge, então
converge.
Prove que se
Passo 1
Beleza! Vamos analisar o que o problema está pedindo. Temos duas séries infinitas,
e
, onde todos os termos são positivos. A gente precisa provar que se o limite
e a série
converge, então a série
também converge. Vamos usar conceitos de séries e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
converge e os termos são positivos, então a série tem uma soma finita. O fato de
significa que, para termos grandes,
é muito menor que
. Ou seja,
está “muito abaixo” de
.
Passo 3
Como
para
suficientemente grande (porque o limite é zero), podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste diz que se você tem duas séries com termos positivos e uma delas é menor que a outra para todo
grande o suficiente, então se a série maior converge, a menor também converge.
Passo 4
Aplicando o Teste da Comparação aqui: sabemos que
converge e, para
grande,
. Assim, pela comparação,
também converge, já que seus termos são menores ou iguais aos termos de uma série que já sabemos que converge.
Resposta
Portanto,
converge.