Calcule a integral definida. Se necessário, reveja as técnicas de integração aprendidas em câturn
integral0^pi / 8 sec ^2 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi/8 sec^2(2x),dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas, mais especificamente usar a primitiva da função sec^2(u). Vamos precisar lembrar a relação entre derivada da tangente e secante.

Passo 2

A teoria fundamental aqui é que a derivada de tan(u) é sec^2(u). Ou seja, dfracddul(tan(u)r)=sec^2(u). Assim, sabemos que uma primitiva de sec^2(u) é tan(u).

Passo 3

Para simplificar a integral, fazemos a substituição u=2x. Então temos:
du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Também mudamos os limites de integração:
Quando x=0, u=2cdot0=0.
Quando x=pi/8, u=2cdot(pi/8)=pi/4.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral0^pi/8 sec^2(2x),dx = integralu=0^u=pi/4 sec^2(u) cdot du2 = 12 integral0^pi/4 sec^2(u),du
Agora aplicamos a primitiva de sec^2(u), que é tan(u).

Passo 5

Calculando a integral e aplicando os limites de u=0 a u=pi/4:
12 integral0^pi/4 sec^2(u),du = 12 l[tan(u)r]0^pi/4 = 12 l(tan(pi/4) - tan(0)r)
Como tan(pi/4)=1 e tan(0)=0, ficamos com tfrac12(1-0)=tfrac12.

Resposta

12

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