Determinar a função derivada das seguintes funções:

Passo 1

Temos a função y = 2cos(5x^2). O conteúdo da matéria é derivadas de funções compostas (regra da cadeia), derivada de cos u e derivada de polinômios, e vamos precisar aplicar esses conceitos para resolver.

Passo 2

A derivada de cos u em relação a u é dada por
dducos u = -sin u
Pela regra da cadeia, se y = cos(u(x)), então
dydx = -sin(u(x)) cdot u'(x)

Passo 3

Identificamos a função interna como u(x) = 5x^2 e a função externa (multiplicativa) como f(u) = 2cos u.

Passo 4

Calculamos a derivada de u(x):
dudx = ddx(5x^2) = 10x

Passo 5

Agora derivamos f(u) = 2cos u em relação a u:
f'(u) = 2 cdot dducos u = 2 cdot (-sin u) = -2sin u

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para y = f(u(x)) e substituindo u(x)=5x^2 e u'(x)=10x, obtemos
dydx = f'(u(x)) cdot u'(x) = (-2sin(5x^2)) cdot (10x) = -20xsin(5x^2)

Resposta

y' = -20x sin(5x^2)

Exercícios relacionados