Calcule a integral definida. Se necessário, reveja as técnicas de integração aprendidas em câturn
integral2^4 x e^-x / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de x e^-x/2 entre 2 e 4. O conteúdo principal é técnica de integração por partes, pois temos um produto de função polinomial e exponencial.

Passo 2

Para usar integração por partes, escolhemos as partes u e dv:
u = x, dv = e^-x/2 ,dx
Logo,
du = dx, v = integral e^-x/2 ,dx = -2e^-x/2

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u,dv = uv - integral v,du, temos:
integral x e^-x/2 ,dx = x(-2e^-x/2) - integral (-2e^-x/2),dx
= -2x e^-x/2 +2integral e^-x/2 ,dx
e como integral e^-x/2 ,dx = -2e^-x/2,
integral x e^-x/2 ,dx = -2x e^-x/2 -4e^-x/2 + C = -(2x+4)e^-x/2 + C

Passo 4

Agora avaliamos de 2 a 4 usando F(x)=-(2x+4)e^-x/2:
F(4) = -(8+4)e^-2 = -12e^-2,
F(2) = -(4+4)e^-1 = -8e^-1
A integral definida é
integral2^4 x e^-x/2 ,dx = F(4)-F(2) = -12e^-2 - (-8e^-1) = 8e^-1 -12e^-2

Resposta

8e^{-1} - 12e^{-2}

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