Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty raiz[8]n^7+3 n^3-2raiz[6]n^9+7 n^2

Passo 1

A série em questão é sumn=1^infty raiz[8]n^7+3n^3-2raiz[6]n^9+7n^2. O conteúdo envolve séries infinitas e o teste de comparação com p-séries; vamos usar o comportamento assintótico do termo geral para comparar com uma p-série.

Passo 2

Para identificar o comportamento de an=raiz[8]n^7+3n^3-2raiz[6]n^9+7n^2 quando ntoinfty, simplificamos cada parte pelos termos de maior grau:
raiz[8]n^7+3n^3-2sim (n^7)^1/8=n^7/8,
raiz[6]n^9+7n^2sim (n^9)^1/6=n^9/6=n^3/2
Logo, para grandes n,
$$
a_n\sim \frac{n{7/8}}{n{3/2}}=n{7/8-3/2}=n{-5/8}.$$

Passo 3

Agora, considere a p-série sum n^-5/8. Como o expoente p=5/8 satisfaz p<=1, essa p-série diverge.

Passo 4

Usamos o teste da comparação limite:
L=limntoinftyann^-5/8 =limntoinftyraiz[8]n^7+3n^3-2/raiz[6]n^9+7n^2n^-5/8=1>0

Passo 5

Como L é finito e não nulo, a série original tem o mesmo comportamento da p-série divergente. Portanto ela diverge.

Resposta

A série é divergente.

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