Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
Passo 1
A série em questão é
. O conteúdo envolve séries infinitas e o teste de comparação com p-séries; vamos usar o comportamento assintótico do termo geral para comparar com uma p-série.
Passo 2
Para identificar o comportamento de
quando
, simplificamos cada parte pelos termos de maior grau:
Logo, para grandes
$$
a_n\sim \frac{n{7/8}}{n{3/2}}=n{7/8-3/2}=n{-5/8}.$$
Passo 3
Agora, considere a p-série
. Como o expoente
satisfaz
, essa p-série diverge.
Passo 4
Usamos o teste da comparação limite:
Passo 5
Como
é finito e não nulo, a série original tem o mesmo comportamento da p-série divergente. Portanto ela diverge.
Resposta
A série é divergente.