Calcule a integral definida. Se necessário, reveja as técnicas de integração aprendidas em câturn
integral2^4 d xx^2-6 x+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 2 a 4 de 1/(x^2-6x+5). Aqui o conteúdo é cálculo de integrais definidas e usamos frações parciais para resolver.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador: x^2-6x+5=(x-1)(x-5). Em seguida escrevemos
1(x-1)(x-5)= Ax-1+ Bx-5

Passo 3

Determinando A e B por identidade: para x=1 vem 1=A(5-1)=4A então A=tfrac14; para x=5 vem 1=B(1-5)= -4B então B=-tfrac14. Logo
1(x-1)(x-5)=-14(x-1)+14(x-5)

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Um antiderivado é
F(x)=-14ln|x-1|+14ln|x-5|

Passo 5

Falta avaliar de 2 a 4:
I=F(4)-F(2)=l(-tfrac14ln|4-1|+tfrac14ln|4-5|r)-l(-tfrac14ln|2-1|+tfrac14ln|2-5|r)

Passo 6

Calculando: para x=4 temos -tfrac14ln3+tfrac14ln1=-tfrac14ln3, para x=2 temos -tfrac14ln1+tfrac14ln3=tfrac14ln3. Logo
I=(-tfrac14ln3)-tfrac14ln3=-tfrac12ln3

Resposta

-\tfrac12 \ln 3

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