Determinar a função derivada das seguintes funções:

Passo 1

A questão pede a derivada da função y = lnl[tfrac1+sin x1-sin xr]^1/2. Vamos usar conteúdo de derivada de logaritmo e regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Note que podemos simplificar o logaritmo usando a propriedade ln(A^1/2) = tfrac12ln A. Assim, temos:
y = 12,lnl(tfrac1+sin x1-sin xr) = 12l[ln(1+sin x) - ln(1-sin x)r]

Passo 3

Agora vamos derivar usando a regra de derivação de logaritmo tfracddx[ln u(x)] = tfracu'(x)u(x) e a linearidade da derivada:
y' = 12l(ddxln(1+sin x) - ddxln(1-sin x)r)

Passo 4

Calculando cada derivada interna, lembrando que tfracddx[sin x]=cos x:
ddxln(1+sin x) = cos x1+sin x, ddxln(1-sin x) = -cos x1-sin x

Passo 5

Substituindo de volta em y' e somando as frações:
y' = 12l(cos x1+sin x + cos x1-sin xr) = cos x2,(1-sin x)+(1+sin x)(1+sin x)(1-sin x)

Passo 6

Observe que (1-sin x)+(1+sin x)=2 e (1+sin x)(1-sin x)=1-sin^2 x=cos^2 x. Então
y' = cos x2cdot2cos^2 x = 1cos x = sec x

Resposta

y' = sec x

Exercícios relacionados