Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=0^infty n^2 2^nn !

Passo 1

A série dada é sumn=0^infty n^22^nn!. O conteúdo principal é teste de convergência de séries envolvendo fatoriais e potências, e vamos usar o teste da razão por ser o mais eficiente aqui.

Passo 2

Definimos an=n^22^nn!. Para aplicar o teste da razão, analisamos
an+1an=(n+1)^22^n+1/(n+1)!n^22^n/n!=(n+1)^2n^2cdot2cdotn!(n+1)!=2(n+1)^2n^2(n+1)=2n+1n^2
Agora avaliamos o limite da razão:
limntoinftyan+1an=limntoinfty2n+1n^2=2limntoinftyl(tfrac1n+tfrac1n^2r)=0<1
Como o limite da razão é menor que 1, pelo teste da razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série é convergente.

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