Calcule a integral definida. Se necessário, reveja as técnicas de integração aprendidas em câturn
integral2^4 2 x-1(x+3)^2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral2^4 2x - 1(x+3)^2 ,dx. O conteúdo aqui envolve técnicas de integração, mais especificamente a substituição para simplificar o denominador e depois uso de potências e logaritmos.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = x + 3. Assim:
u = x + 3
e
du = dx
Os limites também mudam: quando x = 2, u = 5; quando x = 4, u = 7.
Precisamos expressar o numerador em função de u:
2x - 1 = 2(u - 3) - 1 = 2u - 6 - 1 = 2u - 7
Logo a integral vira:
integralu=5^u=7 2u - 7u^2 ,du
Separamos em potências de u:
2u - 7u^2 = 2 cdot uu^2 - 7 cdot 1u^2 = 2u - 7u^-2
Então a integral é
integral5^7 l(2u - 7u^-2r) du
Agora aplicamos as primitivas conhecidas: a de u^-1 é ln|u| e a de u^-2 é -u^-1. Assim:
integral 2u du = 2ln|u|, integral -7u^-2 du = -7l(-u^-1r) = 7u^-1
Portanto a primitiva é F(u) = 2ln|u| + 7u^-1. Avaliando de u=5 a u=7:
F(7) - F(5) = l(2ln7 + 77r) - l(2ln5 + 75r) = 2(ln7 - ln5) + 1 - 75
Simplificando 1 - tfrac75 = -tfrac25, fica
2lnl(tfrac75r) - tfrac25

Passo 3

Chegamos ao resultado final da integral definida.

Resposta

2lnl(tfrac75r) - tfrac25

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