Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty a^n n^p, a, p>0

Passo 1

Vamos dar uma resumida: a gente quer saber se a série sumn=1^inftya^n n^p, com a,p>0, converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries com parte exponencial e parte polinomial. Para resolver, vamos usar o teste da raiz (ou em alternativa o teste da razão).

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz. Precisamos calcular o seguinte limite:
limntoinftyraiz[n]l|a^n n^pr|=limntoinftya,n^p/n= a,

Passo 3

Esse resultado nos diz que: se a<1, o limite é menor que 1 e a série converge; se a>1, o limite é maior que 1 e a série diverge; se a=1, o teste fica inconclusivo.

Passo 4

No caso a=1 a série vira sumn=1^inftyn^p, que é uma série do tipo p-série com p>0. A p-série sum n^p diverge sempre que p>= -1, e aqui p>0, então diverge.

Resposta

A série converge se, e somente se, a<1. Para a>=1 ela diverge.

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