Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty n^pe^-a n, a, p>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty n^pe^-a n, onde a,p>0. O tema é séries numéricas e vamos usar o teste da divergência (termo não nulo) e o teste da razão.

Passo 2

Definimos o termo geral: an = n^pe^-an Como e^-an=1/e^an, isso equivale a an = n^p,e^an

Passo 3

Pelo teste da divergência, se limntoinftyanneq0 a série diverge. Aqui
limntoinftyan = limntoinftyn^p,e^an = infty,
logo an não tende a zero e a série diverge.

Passo 4

Para reforçar, aplicamos o teste da razão:
an+1an = (n+1)^p e^a(n+1)n^p e^an = l(1+tfrac1nr)^p e^a,
e portanto
limntoinftyan+1an = e^a >1

Passo 5

Como o limite da razão é maior que 1, a série também diverge pelo teste da razão.

Resposta

A série diverge para todos os valores a,p>0.

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