Considere a curva descrita pela função vetorial f(t)=\left(t^{3}, t^{2}, 2 t\right).
a) Encontre o vetor tangente f^{\prime}(t) no ponto t=1.
b) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a t=1.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva em \mathbb{R}^3 descrita pela função vetorial
f(t) = \bigl(t^3,\,t^2,\,2t\bigr)
e pede em (a) o vetor tangente f'(t) no ponto t=1 e em (b) a reta tangente à curva nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar o conceito de derivada de função vetorial para obter o vetor tangente e em seguida montar a equação paramétrica da reta usando o ponto de apoio f(1) e a direção dada por f'(1).

Passo 2

Calcular a derivada componente a componente para obter f'(t). Aplicando a regra de potência em cada coordenada, temos
f'(t) = \bigl(3t^2,\;2t,\;2\bigr).

Passo 3

Avaliar o vetor tangente em t=1. Substituindo t=1 em cada componente de f'(t), obtemos
f'(1) = \bigl(3\cdot1^2,\;2\cdot1,\;2\bigr) = (3,\,2,\,2).

Passo 4

Montar a reta tangente: o ponto de apoio é f(1) e o vetor direção é f'(1). Primeiro calculamos
f(1) = \bigl(1^3,\,1^2,\,2\cdot1\bigr) = (1,\,1,\,2).
Logo a equação paramétrica da reta tangente, usando parâmetro s, é
\ell(s) = (1,\,1,\,2) + s\,(3,\,2,\,2),
ou em coordenadas
x = 1 + 3s,\quad y = 1 + 2s,\quad z = 2 + 2s.

Resposta

a) f'(1) = (3,\,2,\,2).
b) \ell(s) = (1,\,1,\,2) + s\,(3,\,2,\,2), ou seja
x = 1 + 3s,\quad y = 1 + 2s,\quad z = 2 + 2s.

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