Dada a função vetorial f(t)=\left(3 t^{2}+1, e^{2 t}, \cos (5 t)\right), calcule a sua derivada f^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
f(t)=\bigl(3t^{2}+1,\;e^{2t},\;\cos(5t)\bigr)
e pede a sua derivada f'(t). Para resolver isso, vamos usar que a derivada de uma função vetorial é dada derivando cada componente separadamente, aplicando também a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Derivamos a primeira componente 3t^{2}+1. Como a derivada de t^{2} é 2t e de constante é zero, temos
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}+1\bigr)=3\cdot 2t =6t.

Passo 3

Derivamos a segunda componente e^{2t}. Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{u} é u' e^{u}, com u=2t e u'=2. Logo,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}\bigr)=2\,e^{2t}.

Passo 4

Derivamos a terceira componente \cos(5t). Novamente, pela regra da cadeia, a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u', com u=5t e u'=5. Assim,
\frac{d}{dt}\bigl(\cos(5t)\bigr)=-5\,\sin(5t).

Resposta

f'(t)=\bigl(6t,\;2e^{2t},\;-5\sin(5t)\bigr).

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