A transformação que descreve a rotação Ttheta(x, y)=(tildex, tildey) de um ponto genérico (x, y) do plano por um ângulo alpha é descrita por
tildex & =x cos (alpha)-y sin (alpha) tildey & =x sin (alpha)-y cos (alpha)
Mostre que Ttheta preserva áreas, isto é, se uma região B tem área A, então a região Ttheta(B)=Ttheta(x, y):(x, y) in B também tem área A (em outras palavras, rodar uma região não altera a área).
Dica: use o Teorema de mudança de variáveis.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a rotação
Ttheta(x,y) = (tilde x,tilde y)
com
tilde x = xcos(alpha) - ysin(alpha), tilde y = xsin(alpha) + ycos(alpha)
preserva áreas.
Conteúdo: Teorema de mudança de variáveis em integrais duplas e cálculo do Jacobiano.

Passo 2

O Teorema de mudança de variáveis diz que, para uma aplicação difeomorfa
phi:Uto V,
integral duplaV f(u,v),du,dv = integral duplaU fl(phi(x,y)r),l|det Dphi(x,y)r|,dx,dy
Aqui tomamos fequiv1, U=B e V=Ttheta(B), de modo que a área de Ttheta(B) vale
integral duplaTtheta(B)1,dtilde x,dtilde y.

Passo 3

Precisamos calcular o Jacobiano
D Ttheta(x,y) = partial tilde xpartial x & partial tilde xpartial y[6pt] partial tilde ypartial x & partial tilde ypartial y = cos(alpha) & -sin(alpha)[4pt] sin(alpha) & cos(alpha)
Então
det D Ttheta(x,y) =cos(alpha)cdotcos(alpha)-l(-sin(alpha)r)cdotsin(alpha) =cos^2(alpha)+sin^2(alpha) ]

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica
cos^2(alpha)+sin^2(alpha)=1,
vemos que
l|det D Ttheta(x,y)r|=1
para todo (x,y).

Passo 5

Pondo tudo no teorema de mudança de variáveis:
Áreal(Ttheta(B)r) =integral duplaTtheta(B)1,dtilde x,dtilde y =integral duplaB1cdotl|det D Ttheta(x,y)r|,dx,dy =integral duplaB1,dx,dy =Área(B) ÁÁ
Logo a rotação não altera a área.

Resposta

A área de Ttheta(B) é igual à área de B.

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