A transformação que descreve a rotação de um ponto genérico do plano por um ângulo é descrita por
Mostre que preserva áreas, isto é, se uma região tem área , então a região também tem área (em outras palavras, rodar uma região não altera a área).
Dica: use o Teorema de mudança de variáveis.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a rotação
com
preserva áreas.
Conteúdo: Teorema de mudança de variáveis em integrais duplas e cálculo do Jacobiano.
Passo 2
O Teorema de mudança de variáveis diz que, para uma aplicação difeomorfa ,
Aqui tomamos fequiv1, U=B e V=Ttheta(B), de modo que a área de Ttheta(B) vale integral duplaTtheta(B)1,dtilde x,dtilde y.
Passo 3
Precisamos calcular o Jacobiano
D Ttheta(x,y) = partial tilde xpartial x & partial tilde xpartial y[6pt] partial tilde ypartial x & partial tilde ypartial y = cos(alpha) & -sin(alpha)[4pt] sin(alpha) & cos(alpha)
Então
det D Ttheta(x,y) =cos(alpha)cdotcos(alpha)-l(-sin(alpha)r)cdotsin(alpha) =cos^2(alpha)+sin^2(alpha) ]
Passo 4
Usando a identidade trigonométrica
cos^2(alpha)+sin^2(alpha)=1,
vemos que l|det D Ttheta(x,y)r|=1
para todo (x,y).
Passo 5
Pondo tudo no teorema de mudança de variáveis:
Áreal(Ttheta(B)r) =integral duplaTtheta(B)1,dtilde x,dtilde y =integral duplaB1cdotl|det D Ttheta(x,y)r|,dx,dy =integral duplaB1,dx,dy =Área(B) ÁÁ