Calcule a integral dupla.
integral duplaR(2 y^2-3 x y^3) d A, R=(x, y) mid 1 <= x <= 2,0 <= y <= 3

Passo 1

Resumindo, queremos calcular a integral dupla
integral duplaRl(2y^2-3xy^3r),dA
no retângulo
R=(x,y)mid 1<= x<=2,;0<= y<=3
Para isso, vamos usar o Teorema de Fubini e escrever como integral iterada.

Passo 2

Pela Fubini,
integral duplaR(2y^2-3xy^3),dA =integralx=1^2!!integraly=0^3(2y^2-3x y^3),dy,dx
Integramos primeiro em y. Para o termo 2y^2,
integral0^32y^2,dy =2cdoty^33|0^3 =2cdot273 =18
Para o termo -3x y^3,
integral0^3-3x y^3,dy =-3xcdoty^44|0^3 =-3xcdot814 =-2434,x

Passo 3

Somando, a integral interna em y vira
integral0^3(2y^2-3x y^3),dy =18-2434,x

Passo 4

Agora integramos em x:
integral1^2l(18-tfrac2434xr),dx =l[18x-2434cdotx^22r]1^2 =l(36-tfrac2432r)-l(18-tfrac2438r)
Calculando,
36-tfrac2432=-tfrac1712, 18-tfrac2438=-tfrac998,
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-tfrac1712-l(-tfrac998r) =-tfrac6848+tfrac998 =-tfrac5858

Resposta

-5858

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