Calcule a integral dupla.
integral duplaR 1+x1+y d A, R=(x, y) mid-1 <= x <= 2,0 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR1+x1+y,dA sobre o retângulo R=(x,y)mid -1<= x<= 2,;0<= y<= 1. O conteúdo é integração dupla por meio de integrais iteradas e vamos usar a propriedade de funções separáveis para facilitar.

Passo 2

Escrevemos a integral em forma iterada:
integral duplaR1+x1+y,dA = integralx=-1^2 l(integraly=0^11+x1+y,dyr),dx
Note que 1+x é constante em relação a y, então extraímos fora da integral interna:
integraly=0^11+x1+y,dy = (1+x)integral0^111+y,dy = (1+x)[ln(1+y)]0^1 = (1+x)ln2

Passo 3

Agora substituímos na integral externa:
integral duplaR1+x1+y,dA = integralx=-1^2(1+x)ln2,dx = ln2integral-1^2(1+x),dx
Para calcular integral-1^2(1+x),dx, usamos o antiderivado de 1+x:
integral(1+x),dx = x + x^22,
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integral-1^2(1+x),dx = l[x + tfracx^22r]-1^2 = l(2 + tfrac42r) - l(-1 + tfrac12r) = 4 - (-tfrac12) = tfrac92

Passo 4

Multiplicando pelo ln2, obtemos
integral duplaR1+x1+y,dA = ln2 cdot tfrac92 = 9ln22

Resposta

9ln22

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