Calcule a integral dupla.
integral duplaR(x y^2+yx) d A, R=(x, y) mid 2 <= x <= 3,-1 <= y <= 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRl(x,y^2+yxr),dA,
onde R é o retângulo (x,y)mid 2<= x<=3,;-1<= y<=0.
O conteúdo usado aqui é a troca pela integral iterada (Teorema de Fubini) e a linearidade da integral para separar termos.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada em y e depois em x:
integral duplaRl(x,y^2+yxr),dA =integralx=2^3!integraly=-1^0l(x,y^2+yxr),dy,dx
Pela linearidade, dividimos em
integral2^3!integral-1^0x,y^2,dy,dx e integral2^3!integral-1^0yx,dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro as integrais internas em y:
integraly=-1^0x,y^2,dy = xintegral-1^0y^2,dy = xl[y^33r]-1^0 = xcdot13 =x3
integraly=-1^0yx,dy =1xintegral-1^0y,dy =1xl[y^22r]-1^0 =1xl(0-12r) =-12x
Logo a integral toda vira
integral2^3l(x3-12xr),dx

Passo 4

Agora basta calcular
integral2^3x3,dx e integral2^3l(-12xr),dx
Para o primeiro termo:
integral2^3x3,dx =13cdotx^22|2^3 =x^26|2^3 =96-46 =56
Para o segundo termo:
integral2^3l(-12xr),dx =-12integral2^31x,dx =-12[ln x]2^3 =-12l(ln 3-ln 2r) =-12ln!l(32r)
Somando os dois resultados, obtemos
56-12ln!l(32r)

Resposta

56-12ln!l(32r)

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