Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integral0^2-y z dx dz dy

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integraly=0^2integralz=0^raiz4-y^2integralx=0^2 - y z ,dx,dz,dy
O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini para integrais iteradas, integrando primeiro em x, depois em z e, por fim, em y.

Passo 2

Integramos em x, tratando z como constante:
integralx=0^2 - y z ,dx = zintegral0^2 - ydx = z,(2 - y)

Passo 3

Agora integramos em z com limite superior raiz4 - y^2:
integralz=0^raiz4 - y^2 z,(2 - y),dz =(2 - y)integral0^raiz4 - y^2z,dz =(2 - y),l[tfracz^22r]0^raiz4 - y^2 =(2 - y),4 - y^22

Passo 4

Simplificamos o resultado em função de y:
(2 - y),4 - y^22 =12l(8 - 4y -2y^2+y^3r) =4 - 2y - y^2 + tfrac12y^3

Passo 5

Finalmente, integramos em y de 0 a 2:
integral0^2l(4 - 2y - y^2 + tfrac12y^3r)dy =l[4y - y^2 - tfracy^33 + tfracy^48r]0^2 = l(8 - 4 - tfrac83 + 2r) =6 - tfrac83 =tfrac103

Resposta

103

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