Calcule a integral dupla.
integral duplaD y^2 d A, D=(x, y) mid-1 <= y <= 1,-2 <= x <= y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD y^2,dA
onde
D = (x,y)mid -1 <= y <= 1,;-2 <= x <= y
Como y^2 é contínua e D é uma região simples, podemos usar o Teorema de Fubini e integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Para cada y fixo entre -1 e 1, x varia de -2 até y. Logo a integral se escreve como
integraly=-1^1l(integralx=-2^y y^2,dxr),dy

Passo 3

Calculamos a integral interna em x:
integralx=-2^y y^2,dx = y^2l[xr]x=-2^x=y = y^2(y - (-2)) = y^2(y+2)
Então a integral fica
integral-1^1 l(y^3+2y^2r),dy

Passo 4

Agora integramos em y:
integral-1^1 y^3,dy + 2integral-1^1 y^2,dy
Como y^3 é função ímpar, integral-1^1y^3,dy=0. Para y^2 usamos
integral-1^1y^2,dy = [y^33]-1^1 = 13-l(-13r) = 23
Multiplicando por 2 dá
2cdot23 = 43

Resposta

integral duplaD y^2,dA = 43

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