Calcule a integral dupla.
integral duplaR x sen(x+y) d A, R=(x, y) in R^2: 0 <= x <= pi6, 0 <= y <= pi3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função ,f(x,y)=xsin(x+y) sobre o retângulo
R=l(x,y)inR^2:0<= x<=tfracpi6,;0<= y<=tfracpi3r
O conteúdo principal é usar o Teorema de Fubini para transformar em uma integral iterada e depois resolver essa integral por partes e mudança de variável.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini temos
integral duplaRxsin(x+y),dA =integralx=0^pi/6!integraly=0^pi/3xsin(x+y),dy,dx
Como x é constante na integração em y, concentramos em
integraly=0^pi/3sin(x+y),dy
e depois multiplicamos por x.

Passo 3

Calculemos a integral interna:
integral0^pi/3sin(x+y),dy =l[-cos(x+y)r]y=0^pi/3 =-cosl(x+tfracpi3r)+cos(x) =cos(x)-cosl(x+tfracpi3r)
Logo a integral total vira
integral0^pi/6xl[cos(x)-cos(x+tfracpi3)r],dx

Passo 4

Separe em duas integrais:
I =integral0^pi/6xcos(x),dx ;-;integral0^pi/6xcosl(x+tfracpi3r),dx

Passo 5

Avalie integral0^pi/6xcos(x),dx por partes ( u=x, dv=cos x,dx):
integral xcos x,dx =xsin x-integralsin x,dx =xsin x+cos x+C
Então
integral0^pi/6xcos x,dx ;=;l[xsin x+cos xr]0^pi/6 =l(tfracpi6cdottfrac12+tfracraiz32r)-1 =tfracpi12+tfracraiz32-1

Passo 6

Para integral0^pi/6xcosl(x+tfracpi3r),dx, faça a substituição t=x+tfracpi3, daí x=t-tfracpi3 e, quando x vai de 0 a tfracpi6, t vai de tfracpi3 a tfracpi2. Obtemos
integral0^pi/6xcosl(x+tfracpi3r),dx =integralpi/3^pi/2!l(t-tfracpi3r)cos t,dt
Separe em
integral tcos t,dt e -tfracpi3integralcos t,dt, avalie de pi/3 a pi/2 e simplifique. O resultado dá
integralpi/3^pi/2(t-tfracpi3)cos t,dt =tfracpi6-tfrac12

Passo 7

Reunindo tudo:
I =l(tfracpi12+tfracraiz32-1r) ;-;l(tfracpi6-tfrac12r) =-tfracpi12+tfracraiz32-tfrac12 =tfracraiz3-12-tfracpi12

Resposta

boxedraiz3-12-pi12

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