Calcule a integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
sobre o retângulo
O conteúdo principal é usar o Teorema de Fubini para transformar em uma integral iterada e depois resolver essa integral por partes e mudança de variável.
Passo 2
Pelo Teorema de Fubini temos
Como
é constante na integração em
, concentramos em
e depois multiplicamos por
.
Passo 3
Calculemos a integral interna:
Logo a integral total vira
Passo 4
Separe em duas integrais:
Passo 5
Avalie
por partes (
,
):
Então
Passo 6
Para
, faça a substituição
, daí
e, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Obtemos
Separe em
e
, avalie de
a
e simplifique. O resultado dá
Passo 7
Reunindo tudo: