Calcule a integral dupla:
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
.
Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função sobre uma região bidimensional. Precisamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Vamos usar a técnica de substituição para resolver a integral interna.
Passo 2
Primeiro, focamos na integral interna:
.
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tratá-lo como um multiplicador fora da função trigonométrica.
Passo 3
Para resolver
, vamos fazer uma substituição. Seja
.
Calculando a derivada de
em relação a
:
No entanto, observe que esta substituição complica a expressão, então vamos optar por integrar diretamente usando a antiderivada de
.
Passo 4
Observamos que a integral de
em relação a
é
. Portanto:
Como não conseguimos uma antiderivada simples, vamos reevaluar nossa abordagem.
Passo 5
Vamos considerar inverter a ordem de integração. Primeiro, precisamos descrever a região de integração.
Originalmente, temos:
Desenhando isso no plano
, vemos que para
:
E para
:
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral com a ordem invertida:
Isso simplifica a integração, pois integramos primeiro em relação a
.
Passo 7
Integrando em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral se reduz a:
Para resolver esta integral, fazemos uma substituição.
Passo 9
Seja
. Então:
Passo 10
Substituindo na integral:
Passo 11
Integrando
:
Resposta
A integral dupla vale
.