Calcule a integral dupla:
I=integral0^2 integraly / 2^1 y cos (x^3-1) d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla I = integral0^2 integraly / 2^1 y cos (x^3-1) , dx , dy .
Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função sobre uma região bidimensional. Precisamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y . Vamos usar a técnica de substituição para resolver a integral interna.

Passo 2

Primeiro, focamos na integral interna: integraly / 2^1 y cos (x^3-1) , dx .
Aqui, y é uma constante em relação a x , então podemos tratá-lo como um multiplicador fora da função trigonométrica.

Passo 3

Para resolver integral y cos (x^3-1) dx , vamos fazer uma substituição. Seja u = x^3 - 1 .
Calculando a derivada de u em relação a x :
dudx = 3x^2 implies du = 3x^2 dx implies dx = du3x^2
No entanto, observe que esta substituição complica a expressão, então vamos optar por integrar diretamente usando a antiderivada de cos(u) .

Passo 4

Observamos que a integral de cos(u) em relação a u é sin(u) . Portanto:
integral cos(x^3 - 1) dx = Não é uma integral e<=mentar, mas podemos expressá-la em termos de funções especiais ãéáçõ
Como não conseguimos uma antiderivada simples, vamos reevaluar nossa abordagem.

Passo 5

Vamos considerar inverter a ordem de integração. Primeiro, precisamos descrever a região de integração.
Originalmente, temos:
0 <= y <= 2 e y2 <= x <= 1
Desenhando isso no plano xy , vemos que para x :
0 <= x <= 1
E para y :
0 <= y <= 2x

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral com a ordem invertida:
I = integral0^1 integral0^2x y cos(x^3 - 1) , dy , dx
Isso simplifica a integração, pois integramos primeiro em relação a y .

Passo 7

Integrando em relação a y :
integral0^2x y cos(x^3 - 1) , dy = cos(x^3 - 1) integral0^2x y , dy
= cos(x^3 - 1) [ y^22 ]0^2x
= cos(x^3 - 1) ( (2x)^22 - 0 )
= cos(x^3 - 1) cdot 2x^2

Passo 8

Agora, a integral se reduz a:
I = integral0^1 2x^2 cos(x^3 - 1) , dx
Para resolver esta integral, fazemos uma substituição.

Passo 9

Seja u = x^3 - 1 . Então:
dudx = 3x^2 implies du = 3x^2 dx implies x^2 dx = du3

Passo 10

Substituindo na integral:
I = 2 integralu(0)^u(1) cos(u) cdot du3
= 23 integral-1^0 cos(u) , du

Passo 11

Integrando cos(u) :
23 [ sin(u) ]-1^0
= 23 ( sin(0) - sin(-1) )
= 23 ( 0 - (-sin(1)) )
= 23 sin(1)

Resposta

A integral dupla vale I = 23 sin(1) .

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