Resolver o problema misto (P1)
l partial^2 upartial t^2=a^2 partial^2 upartial x^2, 0<x<L, t>0 u(0, t)=0, u(L, t)=0, t >= 0 u(x, 0)=p(x), partial upartial t(x, 0)=q(x)
Observação: Justifique sua resposta em todas as questões acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que envolve uma equação de onda. A gente tem uma equação diferencial parcial que descreve como uma onda se propaga ao longo do tempo e do espaço, com algumas condições específicas nas bordas e no instante inicial. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier, que são ferramentas da matemática usadas pra resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, a gente assume que a solução u(x, t) pode ser escrita como o produto de uma função só de x e outra só de t . Ou seja:
u(x, t) = X(x)T(t)
Esse é o coração do método de separação de variáveis.

Passo 3

Agora, vamos substituir u(x, t) = X(x)T(t) na equação de onda dada:
partial^2 upartial t^2 = a^2 partial^2 upartial x^2
Ficando assim:
X(x)T''(t) = a^2X''(x)T(t)
Dividindo ambos os lados por a^2X(x)T(t) , a equação fica:
T''(t)a^2T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante que a gente vai determinar depois.

Passo 4

Essa equação nos dá duas equações separadas:
T''(t) + a^2lambda T(t) = 0
X''(x) + lambda X(x) = 0
Agora, a gente vai resolver essas duas equações ODE (equações diferenciais ordinárias) separadamente.

Passo 5

Vamos começar com a equação para X(x) :
X''(x) + lambda X(x) = 0
E lembrar das condições de contorno u(0, t) = 0 e u(L, t) = 0 , que implicam X(0) = 0 e X(L) = 0 . Essas condições ajudam a determinar os valores possíveis de lambda e as funções X(x) .

Passo 6

A solução para X'' + lambda X = 0 com X(0) = X(L) = 0 são funções seno, e os valores de lambda que satisfazem essas condições são:
lambdan = ( npiL )^2, n = 1, 2, 3, dots
E as funções próprias são:
Xn(x) = sin( npi xL )

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para T(t) :
T''(t) + a^2lambdan T(t) = 0
Substituindo lambdan :
T''(t) + ( npi aL )^2 T(t) = 0
A solução dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas:
Tn(t) = An cos( npi a tL ) + Bn sin( npi a tL )

Passo 8

Juntando Xn(x) e Tn(t) , a solução geral é uma soma infinita:
u(x, t) = sumn=1^infty sin( npi xL ) [ An cos( npi a tL ) + Bn sin( npi a tL ) ]

Passo 9

Agora, vamos aplicar as condições iniciais u(x, 0) = p(x) e partial upartial t(x, 0) = q(x) . Para t = 0 :
u(x, 0) = sumn=1^infty An sin( npi xL ) = p(x)
E para a derivada em relação ao tempo, também em t = 0 :
partial upartial t(x, 0) = sumn=1^infty npi aL Bn sin( npi xL ) = q(x)
Isso nos permite encontrar os coeficientes An e Bn .

Passo 10

Para encontrar An e Bn , usamos séries de Fourier. Multiplicamos ambos os lados das equações pelas funções seno e integramos de 0 a L :
An = 2L integral0^L p(x) sin( npi xL ) dx
Bn = 2 Lnpi a integral0^L q(x) sin( npi xL ) dx

Passo 11

Finalmente, substituímos An e Bn de volta na solução geral para obter a solução completa do problema:
u(x, t) = sumn=1^infty sin( npi xL ) [ ( 2L integral0^L p(x') sin( npi x'L ) dx' ) cos( npi a tL ) + ( 2 Lnpi a integral0^L q(x') sin( npi x'L ) dx' ) sin( npi a tL ) ]

Resposta

A solução do problema misto é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty sin( npi xL ) [ ( 2L integral0^L p(x') sin( npi x'L ) dx' ) cos( npi a tL ) + ( 2 Lnpi a integral0^L q(x') sin( npi x'L ) dx' ) sin( npi a tL ) ]

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