Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
lim x -infty f(x)=-infty, lim x -2^- f(x)=infty, lim x -2^+ f(x)=-infty, lim x 2 f(x)=infty, lim x infty f(x)=infty

Passo 1

O enunciado pede um esboço de gráfico de uma função f que satisfaz as seguintes condições de limite:\r
limxto -inftyf(x)=-infty, limxto -2^-f(x)=+infty, limxto -2^+f(x)=-infty, limxto 2f(x)=+infty, limxto +inftyf(x)=+infty \r
O conteúdo envolvido é análise de limites infinitos e identificação de assimptotas verticais e oblíquas. Para resolver, vamos construir uma função com os polos apropriados em x=-2 e x=2 e com crescimento nos extremos.

Passo 2

Para criar as assimptotas verticais e obter o comportamento desejado em cada lado de x=-2, usamos um termo do tipo -1/(x+2), pois:\r
  • quando xto -2^-, x+2<0 e -1/(x+2)to +infty;\r
  • quando xto -2^+, x+2>0 e -1/(x+2)to -infty.\r
    Para garantir que ao redor de x=2 o limite seja +infty nos dois lados, usamos um termo do tipo 1/(2-x)^2. Finalmente, para que limxtopminftyf(x)=pminfty no sinal correto, adicionamos um termo linear em x.

Passo 3

Definimos, então,\r
f(x) ;=; x ;-;1x+2;+;1(2-x)^2 \r
Vamos verificar rapidamente os limites:\r
  • Para xto -infty, os termos racionais vão a zero e fica f(x)approx xto -infty.\r
  • Para xto +infty, também f(x)approx xto +infty.\r
  • Em xto -2^-: o termo -1/(x+2)to +infty domina, logo f(x)to +infty.\r
  • Em xto -2^+: o termo -1/(x+2)to -infty, logo f(x)to -infty.\r
  • Em xto 2: o termo 1/(2-x)^2to +infty (dos dois lados), logo f(x)to +infty.

Passo 4

Da forma de f(x) notamos:\r
  • Assimptotas verticais em x=-2 e em x=2.\r
  • Para lvert xrvert grande, f(x)approx x, logo há uma assimptota oblíqua y=x.\r
    O esboço qualitativo do gráfico é: \r
    — Para x<-2, a curva aproxima-se da reta y=x e sobe para +infty ao se aproximar de -2 pela esquerda. \r
    — Entre -2 e 2, sai de -infty em x=-2^+, sobe, passa em algum ponto central e volta a subir para +infty em x=2^-. \r
    — Para x>2, parte de +infty em 2^+ e depois segue cada vez mais junto de y=x.

Resposta

Uma função que atende a todas as condições é\r
f(x)=x-1x+2+1(2-x)^2, \r
cujo gráfico possui assimptotas verticais em x=-2 e x=2 e assimptota oblíqua y=x, exibindo exatamente os limites infinitos requeridos.

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