Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas as condições dadas.
,
Passo 1
O enunciado pede um esboço de gráfico de uma função
que satisfaz as seguintes condições de limite:\r
O conteúdo envolvido é análise de limites infinitos e identificação de assimptotas verticais e oblíquas. Para resolver, vamos construir uma função com os polos apropriados em
e
e com crescimento nos extremos.
Passo 2
Para criar as assimptotas verticais e obter o comportamento desejado em cada lado de
, usamos um termo do tipo
, pois:\r
- quando
, e ;\r - quando
, e .\r
Para garantir que ao redor deo limite seja nos dois lados, usamos um termo do tipo . Finalmente, para que no sinal correto, adicionamos um termo linear em .
Passo 3
Definimos, então,\r
Vamos verificar rapidamente os limites:\r
- Para
, os termos racionais vão a zero e fica .\r - Para
, também .\r - Em
: o termo domina, logo .\r - Em
: o termo , logo .\r - Em
: o termo (dos dois lados), logo .
Passo 4
Da forma de
notamos:\r
- Assimptotas verticais em
e em .\r - Para
grande, , logo há uma assimptota oblíqua .\r
O esboço qualitativo do gráfico é: \r
— Para, a curva aproxima-se da reta e sobe para ao se aproximar de pela esquerda. \r
— Entree , sai de em , sobe, passa em algum ponto central e volta a subir para em . \r
— Para, parte de em e depois segue cada vez mais junto de .
Resposta
Uma função que atende a todas as condições é\r
cujo gráfico possui assimptotas verticais em
e
e assimptota oblíqua
, exibindo exatamente os limites infinitos requeridos.