Suponha que f(x, y, z)=g(raizx^2+y^2+z^2), onde g é uma função de uma variável tal que g(2)=-5. Calcule integral duplaS f(x, y, z) d S, onde S é a esfera de raio 4 centrada na origem.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos pede para calcular a integral de superfície de uma função f(x, y, z) = g(raizx^2+y^2+z^2) sobre a esfera S de raio 4 centrada na origem. Sabemos que g(2) = -5 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e propriedades de simetria das esferas.

Passo 2

Primeiro, observe que raizx^2+y^2+z^2 representa a distância de um ponto (x, y, z) até a origem, que chamamos de r . Então, podemos reescrever f como f(r) = g(r) .

Passo 3

Como estamos integrando sobre a esfera S de raio 4, para qualquer ponto nessa esfera, a distância r = 4 . Isso significa que, em toda a superfície S , f(r) = g(4) é constante.

Passo 4

A integral de superfície de uma função constante f sobre uma superfície S é simplesmente o valor de f multiplicado pela área da superfície S . Ou seja:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = f times Área de S Á

Passo 5

Sabendo que f é constante e igual a g(4) na esfera de raio 4, temos:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = g(4) times Área da esfera de raio 4 Á

Passo 6

A área da esfera de raio R é dada por 4pi R^2 . No nosso caso, R = 4 :
Área de S = 4pi (4)^2 = 4pi times 16 = 64pi Á

Passo 7

Agora, precisamos determinar g(4) . A questão nos dá que g(2) = -5 , mas não temos informação direta sobre g(4) . Contudo, se não houver mais informações sobre g , não podemos determinar numericamente g(4) . Portanto, a integral de superfície será expressa em termos de g(4) .

Resposta

integral duplaS f(x, y, z) , dS = 64pi times g(4)

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