Suponha que
, onde
é uma função de uma variável tal que
. Calcule
, onde
é a esfera de raio 4 centrada na origem.
Passo 1
Vamos lá! A questão nos pede para calcular a integral de superfície de uma função
sobre a esfera
de raio 4 centrada na origem. Sabemos que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e propriedades de simetria das esferas.
Passo 2
Primeiro, observe que
representa a distância de um ponto
até a origem, que chamamos de
. Então, podemos reescrever
como
.
Passo 3
Como estamos integrando sobre a esfera
de raio 4, para qualquer ponto nessa esfera, a distância
. Isso significa que, em toda a superfície
,
é constante.
Passo 4
A integral de superfície de uma função constante
sobre uma superfície
é simplesmente o valor de
multiplicado pela área da superfície
. Ou seja:
Passo 5
Sabendo que
é constante e igual a
na esfera de raio 4, temos:
Passo 6
A área da esfera de raio
é dada por
. No nosso caso,
:
Passo 7
Agora, precisamos determinar
. A questão nos dá que
, mas não temos informação direta sobre
. Contudo, se não houver mais informações sobre
, não podemos determinar numericamente
. Portanto, a integral de superfície será expressa em termos de
.