Calcule a integral dupla.
integral duplaD(3 x+y) d A,
D=(x, y) mid pi / de<a <= x <= pi / 4, sen x <= y <= cos x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD(3x+y),dA,
onde
D=l(x,y)mid pi/6<= x<= pi/4, sin x<= y<= cos xr
O conteúdo principal é transformar em integral iterada, primeiro em y depois em x, e em seguida usar integração por partes e identidades trigonométricas.

Passo 2

Escrevemos a integral como
integralx=pi/6^pi/4l[integraly=sin x^cos x(3x+y),dyr],dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
integralsin x^cos x(3x+y),dy =3xl(cos x-sin xr) +12l(cos^2x-sin^2xr) =3x(cos x-sin x)+tfrac12cos2x

Passo 4

Agora integramos em x:
integralpi/6^pi/4l[3x(cos x-sin x)+tfrac12cos2xr]dx
Usamos integração por partes em cada termo com xcos x e xsin x, e a primitiva de cos2x. Obtemos uma antiderivada
F(x) =3x(sin x+cos x)+3(cos x-sin x)+tfrac14sin2x

Passo 5

Avaliamo-la em x=pi/4 e x=pi/6 e subtraímos:
Fl(tfracpi4r) =3piraiz24+14, Fl(tfracpi6r) =pi(1+raiz3)4+13raiz3-128
Logo a integral é
Fl(tfracpi4r)-Fl(tfracpi6r) =pi4l(3raiz2-raiz3-1r) +14-13raiz38

Resposta

integral duplaD(3x+y),dA =pi4l(3raiz2-raiz3-1r) +14-13raiz38

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