Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
19 (x+1) d yd x+(x+2) y=2 x e^-x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial \((x+1)\frac{dy}{dx}+(x+2)y=2x e^{-x}).
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dydx+P(x)y = Q(x) dividindo por (x+1) (supondo xneq -1):
dydx+x+2x+1,y = 2xx+1,e^-x
Aqui P(x)=x+2x+1 e Q(x)=2xx+1e^-x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=expl(integral P(x),dxr).
Como
x+2x+1=1+1x+1,
temos
integral P(x),dx = integrall(1+1x+1r),dx = x+ln|x+1|,
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mu(x)=e^,x+ln|x+1|=(x+1)e^x

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(x). No lado esquerdo surge
ddxl[(x+1)e^xyr],
e no direito
(x+1)e^xcdot2xx+1e^-x=2x
Assim
ddxl[(x+1)e^xyr]=2x
Integrando em x:
(x+1)e^xy=integral2x,dx = x^2 + C

Passo 5

Isolando y, vem
y(x)=x^2 + C(x+1)e^x

Resposta

y(x)=x^2 + C(x+1)e^x,
para xneq -1 e C constante arbitrária.

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