Calcule a integral dupla abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral dupla:
integral0^1 integral0^1[(sin(x) cdot e^x) cdot(y cdot cos (y^2))] , dy , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente multiplicando funções de x e y. Para resolver, vamos separar as partes que dependem de x das que dependem de y e integrar cada uma individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes:
( integral0^1 sin(x) e^x , dx ) cdot ( integral0^1 y cos(y^2) , dy )
Isso é possível porque as funções de x e y estão multiplicadas e os limites de integração são constantes.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral, que é em termos de x:
integral0^1 sin(x) e^x , dx
Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde podemos definir:
u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) , dx
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
Aplicando integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
integral sin(x) e^x , dx = sin(x) e^x - integral e^x cos(x) , dx
Agora, temos outra integral integral e^x cos(x) , dx que também precisa de integração por partes. Repetindo o processo, descobrimos que:
integral e^x sin(x) , dx = e^x (sin(x) - cos(x))2
Então, avaliando de 0 a 1:
[ e^x (sin(x) - cos(x))2 ]0^1 = e (sin(1) - cos(1))2 - 1 (0 - 1)2 = e (sin(1) - cos(1)) + 12

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral, que é em termos de y:
integral0^1 y cos(y^2) , dy
Fazemos uma substituição simples:
u = y^2 Rightarrow du = 2y , dy Rightarrow y , dy = du2
Substituindo na integral:
integral0^1 y cos(y^2) , dy = 12 integral0^1 cos(u) , du = 12 [ sin(u) ]0^1 = 12 (sin(1) - sin(0)) = sin(1)2

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais:
( e (sin(1) - cos(1)) + 12 ) cdot ( sin(1)2 ) = ( e (sin(1) - cos(1)) + 1 ) sin(1) 4
Portanto, a integral dupla é:
( e (sin(1) - cos(1)) + 1 ) sin(1) 4

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