Calcule a integral dupla abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente multiplicando funções de
e
. Para resolver, vamos separar as partes que dependem de
das que dependem de
e integrar cada uma individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes:
Isso é possível porque as funções de
e
estão multiplicadas e os limites de integração são constantes.
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral, que é em termos de
:
Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde podemos definir:
Aplicando integração por partes:
Agora, temos outra integral
que também precisa de integração por partes. Repetindo o processo, descobrimos que:
Então, avaliando de 0 a 1:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral, que é em termos de
:
Fazemos uma substituição simples:
Substituindo na integral:
Resposta
Multiplicando os resultados das integrais:
Portanto, a integral dupla é: