Seja D uma região limitada pelas curvas y^2-x-1=0 e y^2+x-1=0, onde D representa a área de uma represa, em km^2. Qual será a área da represa?

Passo 1

O enunciado pede a área da região D limitada pelas curvas y^2 - x - 1 = 0 e y^2 + x - 1 = 0. Isso envolve conteúdo de cálculo de áreas por integração simples em coordenadas cartesianas: precisamos isolar x em função de y, encontrar os limites de y onde as curvas se intersectam e depois montar a integral da diferença entre as funções.

Passo 2

Primeiro, isolamos x em cada equação: da curva y^2 - x - 1 = 0 vem
x = y^2 - 1,
e da curva y^2 + x - 1 = 0 vem
x = 1 - y^2
Essas são as fronteiras esquerda e direita da região D, respectivamente. Para achar os limites em y, igualamos as duas expressões de x:
y^2 - 1 = 1 - y^2 2y^2 = 2 y^2 = 1 y = pm 1

Passo 3

Agora a área é dada por
A = integraly=-1^1 l[(direita) - (esquerda)r] ,dy = integral-1^1 l[(1 - y^2) - (y^2 - 1)r] ,dy = integral-1^1 (2 - 2y^2) ,dy
Fatorando 2, temos
A = 2 integral-1^1 (1 - y^2) ,dy = 2 l[y - y^33r]-1^1 = 2 l((1 - tfrac13) - (-1 + tfrac13)r) = 2 cdot 43 = 83

Resposta

83 km^{2}

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