Nos Exercícios de 1 a 6, use integrais duplas para encontrar a área da região dada.
A região dentro da cardióide
e fora da circunferência
.
A região dentro da cardióide
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está dentro da cardioide
e ao mesmo tempo está fora da circunferência
Para resolver, vamos usar coordenadas polares: a área em polares é
Passo 2
Precisamos determinar para quais valores de
a cardioide fica por fora do círculo
. Igualando as curvas,
logo
. Para
tem-se
enquanto fora desse intervalo a cardioide fica por dentro do círculo.
Passo 3
Portanto a área desejada é
Calculando a integral em
:
Logo
Passo 4
Expandindo o integrando:
Então
Passo 5
Agora separamos as integrais:
Somando,
Logo