Nos Exercícios de 1 a 6, use integrais duplas para encontrar a área da região dada.
A região dentro da cardióide r=a(1+cos theta) e fora da circunferência r=a.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está dentro da cardioide
r = al(1+costhetar)
e ao mesmo tempo está fora da circunferência
r = a
Para resolver, vamos usar coordenadas polares: a área em polares é
A = integral duplaR dA = integraltheta1^theta2integralrrm in(theta)^rrm out(theta) r,dr,dtheta

Passo 2

Precisamos determinar para quais valores de theta a cardioide fica por fora do círculo r=a. Igualando as curvas,
al(1+costhetar) = a Longrightarrow 1+costheta = 1 Longrightarrow costheta = 0,
logo theta = pmpi2. Para -tfracpi2<=theta<=tfracpi2 tem-se
a(1+costheta)>= a,
enquanto fora desse intervalo a cardioide fica por dentro do círculo.

Passo 3

Portanto a área desejada é
A = integral-pi2^pi2 integralr=a^,r=a(1+costheta) r,dr,dtheta
Calculando a integral em r:
integrala^a(1+costheta) r,dr = 12l[r^2r]r=a^r=a(1+costheta) = 12l(a^2(1+costheta)^2 - a^2r)
Logo
A = integral-pi2^pi2 12l(a^2((1+costheta)^2 - 1)r),dtheta = a^22 integral-pi2^pi2l((1+costheta)^2 -1r),dtheta

Passo 4

Expandindo o integrando:
(1+costheta)^2 -1 = 1 + 2costheta + cos^2theta -1 = 2costheta + cos^2theta
Então
A = a^22 integral-pi2^pi2 l(2costheta + cos^2thetar) ,dtheta

Passo 5

Agora separamos as integrais:
integral-pi2^pi22costheta,dtheta =2l[sinthetar]-pi2^pi2 =2(1 -(-1))=4,
integral-pi2^pi2cos^2theta,dtheta =integral-pi2^pi21+cos(2theta)2,dtheta =12l[theta + tfrac12sin(2theta)r]-pi2^pi2 =pi2
Somando,
integral-pi2^pi2l(2costheta + cos^2thetar),dtheta =4 + pi2
Logo
A = a^22l(4 + pi2r) = a^2l(2 + pi4r)

Resposta

A = a^2l(2 + pi4r)

Exercícios relacionados