Determine a integral abaixo, onde D é a região limitada pelas curvas y=1+x^2 e y=2 x^2.
integralegral duplaD(3 x y-2 y x) d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD(3xy-2yx),dA
sobre a região D limitada pelas curvas
;y=1+x^2; e ;y=2x^2.
O conteúdo da matéria é integração dupla em coordenadas cartesianas, e vamos precisar:
– Simplificar o integrando;
– Descrever bem a região D;
– Montar a integral iterada e usar simetria, se for o caso.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando:
3xy-2yx = (3-2),xy = xy

Passo 3

Para achar os limites de D, igualamos as curvas:
1 + x^2 = 2x^2 Longrightarrow x^2 = 1 Longrightarrow x = pm1
Entre x=-1 e x=1, temos
2x^2 <= y <= 1 + x^2

Passo 4

Montamos então a integral iterada de xy:
integral duplaDxy,dA = integralx=-1^1!l(integraly=2x^2^,1 + x^2 x,y,dyr),dx

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em y:
integral2x^2^,1 + x^2 x,y,dy = x;gl[y^22gr]y=2x^2^,1 + x^2 = x2l((1 + x^2)^2 - (2x^2)^2r) = x2l(1 + 2x^2 - 3x^4r)

Passo 6

Sobram agora
12integral-1^1xl(1 + 2x^2 - 3x^4r),dx
Como x(1+2x^2-3x^4) é função ímpar e o intervalo é simétrico [-1,1], essa integral vale zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados