Nos Exercícios de 1 a 6, use integrais duplas para encontrar a área da região dada.
Uma folhà da rosácea r=a cos 2 theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área de uma folha da rosa ciliar definida pela equação r = a cos 2theta . Para isso, vamos usar integrais duplas, que são uma ferramenta poderosa para calcular áreas em coordenadas polares. Não se preocupe se não estiver familiarizado com tudo isso ainda, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação da rosa ciliar r = a cos 2theta . Essa curva tem simetria e forma várias “folhas”. Nosso objetivo é encontrar a área de uma dessas folhas. Como a equação está em coordenadas polares, é mais fácil trabalhar com elas para calcular a área.

Passo 3

Em coordenadas polares, a fórmula para a área A de uma região é dada por:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Aqui, r é a função que define a curva, e alpha e beta são os limites de theta que correspondem a uma folha completa da rosa.

Passo 4

Para encontrar os limites de integração alpha e beta , observamos que a rosa r = a cos 2theta tem períodos onde uma folha é formada. Como o coeficiente de theta dentro do cosseno é 2, cada folha ocorre em um intervalo de pi/2 radianos. Vamos escolher theta de -pi/4 a pi/4 para cobrir uma folha.

Passo 5

Agora, substituímos r = a cos 2theta na fórmula da área:
A = 12 integral-pi/4^pi/4 (a cos 2theta)^2 , dtheta
Simplificando dentro da integral:
A = a^22 integral-pi/4^pi/4 cos^2 2theta , dtheta

Passo 6

Para integrar cos^2 2theta , usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Aplicando isso:
cos^2 2theta = 1 + cos 4theta2
Substituindo na integral:
A = a^22 integral-pi/4^pi/4 1 + cos 4theta2 , dtheta = a^24 integral-pi/4^pi/4 (1 + cos 4theta) , dtheta

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral-pi/4^pi/4 1 , dtheta = [ theta ]-pi/4^pi/4 = pi4 - (-pi4) = pi2
integral-pi/4^pi/4 cos 4theta , dtheta = [ sin 4theta4 ]-pi/4^pi/4 = sin pi4 - sin (-pi)4 = 0 - 0 = 0

Passo 8

Então, a área fica:
A = a^24 ( pi2 + 0 ) = a^2 pi8

Resposta

A área de uma folha da rosa r = a cos 2theta é a^2 pi8 .

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