Nos Exercícios de 1 a 6, use integrais duplas para encontrar a área da região dada.
Uma folhà da rosácea
.
Uma folhà da rosácea
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área de uma folha da rosa ciliar definida pela equação
. Para isso, vamos usar integrais duplas, que são uma ferramenta poderosa para calcular áreas em coordenadas polares. Não se preocupe se não estiver familiarizado com tudo isso ainda, vou explicar cada passo direitinho!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a equação da rosa ciliar
. Essa curva tem simetria e forma várias “folhas”. Nosso objetivo é encontrar a área de uma dessas folhas. Como a equação está em coordenadas polares, é mais fácil trabalhar com elas para calcular a área.
Passo 3
Em coordenadas polares, a fórmula para a área
de uma região é dada por:
Aqui,
é a função que define a curva, e
e
são os limites de
que correspondem a uma folha completa da rosa.
Passo 4
Para encontrar os limites de integração
e
, observamos que a rosa
tem períodos onde uma folha é formada. Como o coeficiente de
dentro do cosseno é 2, cada folha ocorre em um intervalo de
radianos. Vamos escolher
de
a
para cobrir uma folha.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
Passo 8
Então, a área fica:
Resposta
A área de uma folha da rosa
é
.