Calcule a integral dupla abaixo, identificando-a antes como volume de um sólido. Faça o esboço do sólido.
integral duplaR(4-x+y) d A, R=[0,3] times[0,3]

Passo 1

Aqui a gente tem a integral dupla de f(x,y)=4−x+y sobre o quadrado R=[0,3]×[0,3], e o que queremos é o volume do sólido cujo topo é o plano z=4−x+y e cuja base é esse retângulo no plano xy.

Passo 2

Identificamos que o volume V é dado por
V=integral duplaR(4 - x + y),dA =integral0^3integral0^3(4 - x + y),dy,dx

Passo 3

Primeiro calculamos a integral interna em y:
integral0^3(4 - x + y),dy =l[(4 - x)y + tfracy^22r]0^3 =3(4 - x)+tfrac92 =16.5 - 3x

Passo 4

Agora integramos esse resultado em x de 0 a 3:
V=integral0^3(16.5 - 3x),dx =l[16.5x - tfrac3x^22r]0^3 =16.5cdot3 - tfrac3cdot92 =49.5 - 13.5 =36

Passo 5

O esboço do sólido é um paralelepípedo com base no quadrado [0,3]×[0,3] e topo dado pelo plano inclinado z=4−x+y, que em (0,0) tem z=4, em (3,0) z=1, em (0,3) z=7 e em (3,3) z=4.

Resposta

36

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