Use a Definição 1 para determinar se as funções y1 e y2 são linearmente dependentes do intervalo (0,1). y1(t)=t e^2 t, y2(t)=e^2 t

Passo 1

O enunciado pede para usar a Definição 1 de dependência linear: duas funções y1,y2 são linearmente dependentes em um intervalo I se existem constantes c1,c2, nem ambas zero, tais que
c1y1(t) + c2y2(t) = 0
para todo tin I. Aqui I=(0,1), y1(t)=t e^2t e y2(t)=e^2t.

Passo 2

Assumimos que exista combinação não trivial
c1l(t e^2tr) + c2l(e^2tr) = 0
para todo tin(0,1). Como e^2tneq0 em (0,1), podemos dividir por e^2t sem alterar a igualdade.

Passo 3

Dividindo por e^2t obtemos a identidade
c1t + c2 = 0
que deve valer para todo tin(0,1). Isso implica que o coeficiente de t e o termo constante são ambos zero:
c1=0, c2=0

Passo 4

Como a única solução é c1=c2=0, não existem constantes não-triviais que anulem a combinação. Portanto y1,y2 são linearmente independentes em (0,1).

Resposta

As funções y1(t)=t e^2t e y2(t)=e^2t são linearmente independentes no intervalo (0,1).

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