Use a Definição 1 para determinar se as funções
e
são linearmente dependentes do intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para usar a Definição 1 de dependência linear: duas funções
são linearmente dependentes em um intervalo
se existem constantes
, nem ambas zero, tais que
para todo
. Aqui
,
e
.
Passo 2
Assumimos que exista combinação não trivial
para todo
. Como
em
, podemos dividir por
sem alterar a igualdade.
Passo 3
Dividindo por
obtemos a identidade
que deve valer para todo
. Isso implica que o coeficiente de
e o termo constante são ambos zero:
Passo 4
Como a única solução é
, não existem constantes não-triviais que anulem a combinação. Portanto
são linearmente independentes em
.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes no intervalo
.