Seja r(t)=(2 t-1, t e^2 t, t)
Encontre r^prime(t).

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial vec r(t) = l(2t - 1,;t,e^2t,;tr) e pede sua derivada vec r'(t). Vamos derivar cada componente separadamente, usando regra do produto quando necessário.

Passo 2

A primeira componente é 2t - 1. Derivando em relação a t, pela regra de derivação de polinômios, obtemos
ddt(2t - 1) = 2

Passo 3

A segunda componente é t,e^2t. Aplicamos a regra do produto: se u(t)=t e v(t)=e^2t, então
ddt[u(t),v(t)] = u'(t),v(t) + u(t),v'(t)
Aqui u'(t)=1 e v'(t)=2e^2t, logo
ddtl(t,e^2tr) = 1cdot e^2t + tcdot(2e^2t) = e^2t + 2t,e^2t = e^2t(1 + 2t)

Passo 4

A terceira componente é t. Derivando, temos
ddt(t) = 1

Passo 5

Agora juntamos as derivadas de cada componente para formar o vetor derivada:
vec r'(t) = l(2,;e^2t(1 + 2t),;1r)

Resposta

vec r'(t) = (2,;e^2t(1 + 2t),;1)

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