Calcule a integral dupla abaixo sobre o retângulo R especificado.
(b) integral duplaR(x+x y^-2) d A, em que R=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 2,1 <= y <= pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
f(x,y)=x + x,y^-2
sobre o retângulo
R=(x,y)inR^2:0<= x<=2,;1<= y<= tfracpi2
O conteúdo envolvido é o Teorema de Fubini (integral iterada) e a linearidade da integral dupla.

Passo 2

Usando Fubini, escrevemos
integral duplaR(x + x,y^-2),dA = integraly=1^pi/2!integralx=0^2l(x + x,y^-2r),dx,dy
Pela linearidade em x:
integral0^2l(x + x,y^-2r),dx = integral0^2x,dx ;+; y^-2integral0^2x,dx

Passo 3

Calculamos
integral0^2x,dx = l[tfrac12x^2r]0^2 = tfrac12cdot4 = 2
Logo a integral interna fica
integral0^2l(x + x,y^-2r),dx = 2 ;+; y^-2cdot2 = 2l(1 + y^-2r)
Assim
integral duplaR(x + x,y^-2),dA = integral1^pi/22l(1 + y^-2r),dy

Passo 4

Agora integramos em y:
integral1^pi/22l(1 + y^-2r),dy = 2integral1^pi/2!1,dy ;+; 2integral1^pi/2!y^-2,dy
Calculando separadamente:
2integral1^pi/2!1,dy = 2l[yr]1^pi/2 = 2l(tfracpi2 - 1r) = pi - 2,
2integral1^pi/2!y^-2,dy = 2l[-y^-1r]1^pi/2 = 2l(-tfrac2pi + 1r) = 2 - tfrac4pi
Somando as parcelas:
(pi - 2) + l(2 - tfrac4pir) = pi - tfrac4pi

Resposta

integral duplaR(x + x,y^-2),dA = pi ;-;4pi

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