Calcule a integral iterada.
g) integral0^2 integral0^pi / 3 t^2 sen^3(phi) d phi d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
I = integral0^2integral0^pi/3 t^2sin^3(phi),dphi,dt
O conteúdo aqui é integração iterada e uso da fatoração de variáveis quando o integrando é produto de funções que dependem de variáveis diferentes.

Passo 2

Como t^2 depende só de t e sin^3(phi) depende só de phi, podemos escrever
I = l(integral0^2t^2,dtr),l(integral0^pi/3sin^3(phi),dphir)

Passo 3

Calculemos primeiro
integral0^2t^2,dt =[tfract^33]0^2 =2^33 =83

Passo 4

Agora calculemos
integral0^pi/3sin^3(phi),dphi
Usamos a identidade sin^3phi=sinphi,(1-cos^2phi), logo
integralsin^3phi,dphi =integralsinphi,dphi-integralsinphi,cos^2phi,dphi
No segundo termo fazemos u=cosphi, du=-sinphi,dphi, obtendo
integralsinphi,dphi=-cosphi, integralsinphi,cos^2phi,dphi =-integral u^2,du =-u^33 =-cos^3phi3
Portanto, de 0 a pi/3,
integral0^pi/3sin^3phi,dphi =l[-cosphi+tfraccos^3phi3r]0^pi/3 =l(-tfrac12+tfrac124r)-l(-1+tfrac13r) =524

Passo 5

Multiplicando os resultados:
I =83,cdot524 =4072 =59

Resposta

59

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