Determine o jacobiano da transformação dada.
(b) x=u^2+u v e y=u v^2

Passo 1

O enunciado pede o jacobiano da transformação
x = u^2 + u,v, y = u,v^2
Conteúdo: cálculo de determinante de matriz de derivadas parciais (jacobiano). Vamos usar a definição
J = det partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de x:
partial xpartial u = partialpartial u(u^2+u,v) = 2u + v,
partial xpartial v = partialpartial v(u^2+u,v) = u

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de y:
partial ypartial u = partialpartial u(u,v^2) = v^2,
partial ypartial v = partialpartial v(u,v^2) = 2,u,v

Passo 4

Montar o determinante e simplificar:
J = det 2u+v & u v^2 & 2,u,v = (2u+v),(2u,v) ;-; u,(v^2)
Agora expandimos:
(2u+v)(2u,v) = 4u^2v + 2u,v^2,
4u^2v + 2u,v^2 - u,v^2 = 4u^2v + u,v^2

Resposta

J = u,v,(4u + v)

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