Determine o jacobiano da transformação dada.
(d) x=u v e y=v+w u e z=w+u v

Passo 1

A transformação leva as variáveis (u,v,w) em (x,y,z) segundo as fórmulas x = u v, y = v + w u e z = w + u v. O que queremos é o Jacobiano dessa mudança de variáveis, isto é, o determinante da matriz das derivadas parciais de (x,y,z) em relação a (u,v,w).

Passo 2

Para calcular o Jacobiano, lembramos que ele é dado por
J = det ( partial(x,y,z)partial(u,v,w) ) = det partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w

Passo 3

Vamos achar uma por uma as derivadas parciais: para x = u v temos
partial xpartial u = v, partial xpartial v = u, partial xpartial w = 0
Para y = v + w u vem
partial ypartial u = w, partial ypartial v = 1, partial ypartial w = u
E para z = w + u v obtemos
partial zpartial u = v, partial zpartial v = 0, partial zpartial w = 1

Passo 4

Agora a matriz jacobiana fica
partial(x,y,z)partial(u,v,w) = v & u & 0 w & 1 & u v & 0 & 1

Passo 5

Só resta calcular o determinante dessa matriz. Usando a expansão pela primeira linha:
J = v det 1 & u 0 & 1 - u det w & u v & 1 + 0 cdot (cdots)
Como det1 & u 0 & 1 = 1 e detw & u v & 1 = w - u v, temos
J = v cdot 1 - u (w - u v) = v - u w + u^2 v

Passo 6

Podemos então factorar um pouco para dar forma final:
J = v(1 + u^2) - u w

Resposta

J = v,(1 + u^2) - u,w

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