Determine o jacobiano da transformação dada.
(d) e e
Passo 1
A transformação leva as variáveis em segundo as fórmulas , e . O que queremos é o Jacobiano dessa mudança de variáveis, isto é, o determinante da matriz das derivadas parciais de em relação a .
Passo 2
Para calcular o Jacobiano, lembramos que ele é dado por
Passo 3
Vamos achar uma por uma as derivadas parciais: para x = u v temos
partial xpartial u = v, partial xpartial v = u, partial xpartial w = 0
Para y = v + w u vem
partial ypartial u = w, partial ypartial v = 1, partial ypartial w = u
E para z = w + u v obtemos
partial zpartial u = v, partial zpartial v = 0, partial zpartial w = 1
Passo 4
Agora a matriz jacobiana fica
partial(x,y,z)partial(u,v,w) = v & u & 0 w & 1 & u v & 0 & 1
Passo 5
Só resta calcular o determinante dessa matriz. Usando a expansão pela primeira linha:
J = v det 1 & u 0 & 1 - u det w & u v & 1 + 0 cdot (cdots)
Como det1 & u 0 & 1 = 1 e detw & u v & 1 = w - u v, temos
J = v cdot 1 - u (w - u v) = v - u w + u^2 v
Passo 6
Podemos então factorar um pouco para dar forma final: