Resolva os problemas de valor inicial usando transformada de Laplace:
y^prime prime+3 y=e^t, y(0)=0, y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 3y = e^t, y(0)=0,;y'(0)=0
usando a transformada de Laplace. O conteúdo envolvido inclui a propriedade
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), a transformada de e^t e tabelas de inversa.

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados, usando y(0)=0 e y'(0)=0, temos
Ly'' + 3Ly = 1s-1 ;;Longrightarrow;; (s^2+3)Y(s)=1s-1 ;;Longrightarrow;; Y(s)=1(s-1)(s^2+3)

Passo 3

Decompondo em frações parciais:
1(s-1)(s^2+3) =As-1+Bs+Cs^2+3
Temos
1 = A(s^2+3)+(Bs+C)(s-1) =(A+B)s^2+(C-B)s+(3A-C)
Comparando coeficientes:
A+B=0, C-B=0, 3A-C=1 ;;Longrightarrow;; A=tfrac14,;B=-tfrac14,;C=-tfrac14
Logo
Y(s)=1/4s-1-1/4,s+1/4s^2+3 =14,1s-1 -14,ss^2+3 -14,1s^2+3

Passo 4

Usando transformadas inversas conhecidas:
L^-1ltfrac1s-1r=e^t, L^-1ltfracss^2+3r=cos(raiz3,t), L^-1ltfrac1s^2+3r=tfrac1raiz3sin(raiz3,t),
segue que
y(t) =tfrac14e^t -tfrac14cos(raiz3,t) -tfrac14,1raiz3sin(raiz3,t) =tfrac14e^t-tfrac14cos(raiz3,t)-tfrac14raiz3sin(raiz3,t)

Passo 5

Verificando as condições iniciais:
y(0)=tfrac14-tfrac14-0=0, y'(t)=tfrac14e^t+tfracraiz34sin(raiz3t)-tfracraiz34raiz3cos(raiz3t) =tfrac14e^t+tfrac14sin(raiz3t)-tfrac14cos(raiz3t),
logo y'(0)=tfrac14-,tfrac14=0. As condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

y(t)=14e^t-14cos(raiz3,t)-14raiz3sin(raiz3,t)

Exercícios relacionados