Calcule a integral dupla.
Abaixo da superfície z=1+x y e acima do triângulo com vértices (1,1),(4,1) e (3,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla que representa o volume abaixo da superfície z = 1 + xy e acima de um triângulo com vértices nos pontos (1,1) , (4,1) e (3,2) . Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração com base nesse triângulo e, em seguida, integrar a função z = 1 + xy sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O triângulo tem os vértices em (1,1) , (4,1) e (3,2) . Vamos plotar esses pontos no plano xy para entender melhor os limites onde vamos integrar.

Passo 3

Observando os pontos, percebemos que o valor de y varia de 1 a 2. Para cada valor fixo de y , precisamos determinar como x varia dentro do triângulo. Isso significa que vamos precisar encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo para expressar x em função de y .

Passo 4

Vamos encontrar as equações das retas que ligam os pontos:
  1. Entre (1,1) e (3,2) :
    • Inclinação m = 2 - 13 - 1 = 12
    • Equação da reta: y - 1 = 12(x - 1) => x = 1 + 2(y - 1)
  2. Entre (3,2) e (4,1) :
    • Inclinação m = 1 - 24 - 3 = -1
    • Equação da reta: y - 2 = -1(x - 3) => x = 3 - (y - 2) = 5 - y

Passo 5

Agora que temos as equações das retas, podemos definir os limites de integração:
  • Para y indo de 1 a 2,
  • x varia de xesquerdo = 1 + 2(y - 1) até xdireito = 5 - y .

Passo 6

Com os limites definidos, montamos a integral dupla para calcular o volume:
integraly=1^2 integralx=1 + 2(y - 1)^5 - y (1 + xy) , dx , dy

Passo 7

Vamos primeiro integrar a função 1 + xy em relação a x :
integral (1 + xy) , dx = x + x^2 y2 + C
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de x :
[ x + x^2 y2 ]1 + 2(y - 1)^5 - y

Passo 8

Substituindo os limites na antiderivada:
( (5 - y) + (5 - y)^2 y2 ) - ( (1 + 2(y - 1)) + (1 + 2(y - 1))^2 y2 )
Simplificando as expressões dentro dos parênteses:
( 5 - y + (25 - 10y + y^2) y2 ) - ( 2y - 1 + (4y^2 - 4y + 1) y2 )

Passo 9

Agora, vamos simplificar ainda mais:
5 - y + 25y - 10y^2 + y^32 - 2y + 1 - 4y^3 - 4y^2 + y2
Combinando termos semelhantes:
6 + 9y - 3y^2 - 3y^32

Passo 10

Finalmente, integramos essa expressão em relação a y de 1 a 2:
integral1^2 (6 + 9y - 3y^2 - 3y^32) dy
Integrando termo a termo:
6y + 9y^22 - y^3 - 3y^48 g|1^2
Substituindo os limites:
(12 + 18 - 8 - 6) - (6 + 4.5 - 1 - 0.375) = 16 - 9.125 = 6.875
Convertendo para fração:
6.875 = 558

Resposta

O volume calculado pela integral dupla é 558 unidades cúbicas.

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