Calcule a integral dupla.
Abaixo da superfície e acima do triângulo com vértices e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla que representa o volume abaixo da superfície e acima de um triângulo com vértices nos pontos , e . Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração com base nesse triângulo e, em seguida, integrar a função sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O triângulo tem os vértices em , e . Vamos plotar esses pontos no plano para entender melhor os limites onde vamos integrar.
Passo 3
Observando os pontos, percebemos que o valor de varia de 1 a 2. Para cada valor fixo de , precisamos determinar como varia dentro do triângulo. Isso significa que vamos precisar encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo para expressar em função de .
Passo 4
Vamos encontrar as equações das retas que ligam os pontos:
Entre e :
Inclinação
Equação da reta: =>
Entre e :
Inclinação
Equação da reta: =>
Passo 5
Agora que temos as equações das retas, podemos definir os limites de integração:
Para indo de 1 a 2,
varia de até .
Passo 6
Com os limites definidos, montamos a integral dupla para calcular o volume:
Passo 7
Vamos primeiro integrar a função em relação a :
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de :
Passo 8
Substituindo os limites na antiderivada:
Simplificando as expressões dentro dos parênteses:
Passo 9
Agora, vamos simplificar ainda mais:
Combinando termos semelhantes:
Passo 10
Finalmente, integramos essa expressão em relação a de 1 a 2: