Questão 04
Analise a situação abaixo:
d^2 zd w^2+3 z=-d zd w
Considerando a expressão dada acima, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A expressão representada caracteriza-se por uma equação diferencial de segunda ordem homogênea.
PORQUE
II. O expoente da maior derivada presente na expressão é 2 e, além disso, podemos igualar todos os termos a zero.
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial lá no enunciado:
d^2 zd w^2 + 3 z = -d zd w
O que precisamos fazer é analisar duas afirmações sobre essa equação e ver qual está correta. Pra isso, vamos precisar saber sobre equações diferenciais e identificar a ordem e a homogeneidade da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de segunda ordem. Isso significa que a maior derivada presente na equação é a de segunda ordem, ou seja, envolve a segunda derivada da função z em relação a w .
Olha só a nossa equação:
d^2 zd w^2 + 3 z = -d zd w
Aqui, temos a segunda derivada de z com respeito a w , que é d^2 zd w^2 . Então, de fato, a maior derivada é de segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o que é uma equação homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos podem ser igualados a zero, ou seja, não há termos independentes da função z .
Na nossa equação, podemos reorganizar os termos para ficar assim:
d^2 zd w^2 + d zd w + 3 z = 0
Tudo está igualado a zero, sem termos constantes ou outras funções. Portanto, a equação é homogênea.

Passo 4

Vamos agora analisar a segunda afirmação:
II. O expoente da maior derivada presente na expressão é 2 e, além disso, podemos igualar todos os termos a zero.
Já vimos que o expoente da maior derivada é realmente 2, porque temos d^2 zd w^2 . E também conseguimos igualar todos os termos a zero, como fizemos no passo anterior. Então, a segunda afirmação também está correta.

Passo 5

Agora, precisamos ver a relação entre as duas afirmações. A primeira afirma que a equação é de segunda ordem e homogênea, e a segunda explica o porquê disso, dizendo que o maior expoente é 2 e que podemos igualar tudo a zero.
Portanto, a segunda afirmação justifica a primeira. Ou seja, a primeira está correta porque a segunda também está correta e a explica.

Resposta

Ambas as afirmações I e II estão corretas, e a segunda justifica a primeira.

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