Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^pi / 2 integral0^sen x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
R = (x,y)mid 0<= x<= tfracpi2,;0<= y<= sin x
no plano xy e depois trocar a ordem de integração em
integral0^pi / 2 integral0^sin x f(x,y),dy,dx
O conteúdo é troca de ordem em integrais duplas, usando a projeção da região nos eixos.

Passo 2

Para esboçar R, volte-se ao plano xy:
  • Trace a curva y=sin x para x de 0 a tfracpi2.
  • A região fica abaixo dessa curva, acima de y=0, entre x=0 e x=tfracpi2.
    Assim R é o “pedaço” sob o arco de seno no primeiro quadrante, subindo até y=1.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo y.
  • y varia de seu mínimo 0 até o máximo sin(tfracpi2)=1.
  • Para cada yin[0,1], a condição y<=sin x equivale a x>=arcsin(y).
  • Também temos x<=tfracpi2.
    Portanto, para fixar y, x vai de arcsin(y) até tfracpi2.

Passo 4

Substituindo esses limites, a integral com ordem trocada fica
integraly=0^1integralx=arcsin(y)^pi/2 f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^pi/2integral0^sin x f(x,y),dy,dx ;=; integral0^1integralarcsin(y)^pi/2 f(x,y),dx,dy

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