Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=2^infty (-1)^n ln nn

Passo 1

O enunciado pede a classificação da série
sumn=2^infty(-1)^n,ln nn
Vamos verificar primeiro a convergência absoluta e depois aplicar o teste de Leibniz para ver se há convergência condicional.

Passo 2

Para a convergência absoluta, consideramos
sumn=2^inftyl|(-1)^nln nnr| = sumn=2^inftyln nn
Usamos o teste da integral para essa série de termos positivos.

Passo 3

Calculamos a integral
integral2^inftyln xx,dx
Fazendo u=ln x, du=tfracdxx, temos
integral2^inftyln xx,dx = integralln 2^inftyu,du = l[tfracu^22r]ln 2^infty = infty
Como a integral diverge, a série sum tfracln nn também diverge e não há convergência absoluta.

Passo 4

Agora aplicamos o teste de Leibniz à série alternada
sumn=2^infty(-1)^nbn, bn=ln nn
1. limntoinftybn =limntoinftyln nn=0
2. Para n>=3, bn é monotonicamente decrescente, pois a derivada de f(x)=ln x/x satisfaz f'(x)<0 para x>e.
Pelo teste de Leibniz, essa série alternada converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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